Investigacion. Gradiente, Divergencia y Rotacional.

Estos son los sistemas operacionales mas conocidos y aplicados en los diferentes campos de la ciencia y la investigación. Cada uno tiene una función y/o aplicación diferente. Trataremos de desglosar lo mas importante de cada uno de ellos.

GRADIENTE

Éste se usa para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad. Normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.

Definición Matemática

El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

Siendo n (n con gorrito) un vector unitario y la primera parte la derivada direccional de phi en la dirección de n (n con gorrito), que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llamase (x,y), (x,y,z), (Tiempo, Temperatura), etc.

El gradiente verifica que:

• Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por Phi = Cte
• Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
• Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
• Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)
• El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

El Gradiente posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar. 

Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denominapotencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como

Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es proporcional al gradiente de temperaturas

siendo k la conductividad térmica.

DIVERGENCIA

Mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero. 

El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante en aplicaciones relacionadas con la electroestática como en la mecánica de fluidos.

El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial diferenciable definida sobre un conjunto y sea un conjunto cerrado limitado por una frontera de superficie de contorno (que sea una variedad diferenciable) y sea el vector normal en cada punto de la superficie, entonces se cumple que:

Coordenadas Cartesianas

Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

el resultado es sencillo:

Coordenadas Ortogonales

Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los hi son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas (hx = hy = hz = 1) se reduce a la expresión anterior. Para coordenadas cilíndricas (hp = hz=1, hp=p) resulta:

Para coordenadas esfericas

resulta

ROTACIONAL

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aquí, ΔS es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ΔS y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. 

Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren.

Coordenadas Cartesianas

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es:

que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:

Expresión en Otros Sistemas de Coordenadas

Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición. Para un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores de escala:

(donde, en cartesianas, hx = hy = hz = 1 y reobtenemos la expresión anterior. En coordenadas cilíndricas hp=hz=1, hp=p y en coordenadas esféricas hr=1, hteta=r,hp=rsenteta)

Algunas características que posee son: 

- Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,

- Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.

En particular, el campo eléctrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.

El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula: